Metodi di discretizzazione per l’analisi dei ponti a cassone

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Introduzione

I ponti si classificano, in base alla tipologia di impalcato, in ponti a graticcio di travi, soletta e cassone. La sezione a cassone (specialmente monocellulare) costituisce oggi la soluzione più diffusa per impalcati a trave continua. I cassoni sono costituiti da pareti piene, collegate tra loro, in modo da formare una sezione scatolare chiusa. Questa caratteristica conferisce al cassone, diversamente dal graticcio di travi, una notevole rigidezza torsionale. Se i carichi agenti sull’impalcato del ponte sono eccentrici rispetto al baricentro del sistema strutturale, si genera un’azione di torsione con conseguente perdita di forma della sezione trasversale; questo comporta che le ipotesi della teoria classica della trave (Bernoulli-Navier o Timoshenko) non sono soddisfatte. Il comportamento del ponte a cassone risulta invece essere una combinazione di quello della trave e del graticcio. Per evitare la perdita di forma della sezione trasversale, si adotta la soluzione dei setti irrigidenti intermedi o delle diagonali di controventamento, oppure di telai di irrigidimento terminali. Stanti, tuttavia, le difficoltà costruttive, questi dispositivi sono spesso omessi, cosicché il progettista deve saper valutare adeguatamente il comportamento strutturale del cassone.
Al fine di eseguire una corretta analisi strutturale di qualunque sistema continuo, è necessario definire le funzioni che ne caratterizzano il comportamento meccanico. In generale, le funzioni in esame sono formulate come equazioni differenziali, estese all’intero dominio; costituiscono cioè equazioni di campo. La soluzione di tali equazioni non è facilmente ottenibile in forma esatta, a meno di casi particolari in cui la geometria o il sistema di vincoli sia tale da semplificare il processo risolutivo. Si può pensare di ricercare la soluzione con tecniche alternative all’integrazione in forma chiusa, tra cui gli sviluppi in serie di Fourier, che risultano tuttavia laboriosi.
Un approccio più facilmente percorribile consiste nell’uso di metodi numerici approssimati, detti metodi di discretizzazione, che trasformano il problema differenziale in un problema algebrico di complessità assai ridotta. La locuzione “discretizzazione” allude al fatto che con questi metodi si riduce il problema continuo (avente infinite incognite) ad un problema discreto (con un numero finito di incognite).
Tra i metodi esistenti, il metodo variazionale di Ritz basa la sua filosofia sull’approssimazione dei campi incogniti mediante l’introduzione di funzioni di forma definite sull’intero dominio, introducendo pertanto un’approssimazione di tipo globale. Tali funzioni devono soddisfare le sole condizioni geometriche del problema e le loro ampiezze vengono determinate mediante la minimizzazione dell’Energia Potenziale Totale.
Il metodo degli “elementi finiti” (Finite Elements Method, FEM), più conosciuto tra studiosi e progettisti, può essere visto come un’evoluzione del metodo di Ritz, in cui le variabili di stato vengono approssimate attraverso delle funzioni (di interpolazione) definite in sotto-domini (approssimazione locale), detti appunto elementi finiti. Tali funzioni non devono soddisfare alcuna condizione al contorno geometrica, ma solo, e non necessariamente, certi requisiti di continuità attraverso la frontiera dei singoli elementi. A differenza del metodo di Ritz, il metodo degli elementi finiti permette di analizzare anche delle strutture con geometria complessa, a patto di introdurre una suddivisione (mesh). Tra i metodi alternativi, sicuramente meno noti, si possono annoverare le “strisce finite” (Finite Strips Method, FSM) e la teoria della “trave generalizzata” (Generalized Beam Theory, GBT). Questi metodi, come si vedrà nel seguito, sono entrambi semivariazionali, ed offrono interessanti potenzialità quando applicati ai ponti a cassone. Nel presente articolo, si vogliono analizzare i due metodi, insieme al metodo degli “elementi finiti”, con l’obiettivo di mettere in rilievo aspetti comuni e differenze.
La memoria è organizzata come segue:
– nel paragrafo 2 si fornisce un cenno sui metodi di discretizzazione e sul loro sviluppo storico;
– nei paragrafi 3 e 4 se ne analizzano in dettaglio gli aspetti comuni e specifici, rispettivamente;
– nel paragrafo 5 si delineano le conclusioni.

I metodi di discretizzazione ed il loro sviluppo storico

La necessità di risolvere problemi di natura diversa e di difficoltà sempre crescente, ha fatto sì che i metodi di discretizzazione assumessero un ruolo di rilevanza primaria nell’ambito dell’analisi di strutture complesse; essi costituiscono attualmente la principale teoria su cui si basa lo sviluppo dei software per la progettazione.

Il metodo degli “elementi finiti” Tra i metodi di discretizzazione, il metodo degli “elementi finiti” [1], [2] è di gran lunga il più antico e potente procedimento di calcolo disponibile. Se ricercare le origini del metodo FEM risulta essere un’impresa infruttuosa e velleitaria, comprenderne la filosofia di base è una necessità. Le radici del metodo sono profondamente consolidate sia nella matematica del continuo sia nell’ingegneria. La prima guarda al metodo come un procedimento di discretizzazione di un’equazione differenziale; la seconda quale la modellazione algebrica di un sistema fisico concepito in origine come discreto. I due punti di vista, pur molto diversi, conducono al medesimo risultato.
La visione tipica dell’ingegnere è ben riassunta dalla seguente citazione, tratta da [1]. «Ogni qualvolta si ricerca la soluzione di problemi pratici, si deve tenere a mente la “dualità” tra continuo e discreto alla stregua di quanto accade in Fisica con il fenomeno luminoso avente sia natura particellare (quantistica) che ondulatoria. Nel campo delle strutture, un sistema discreto complesso può essere modellato come un continuo (utilizzando il processo di omogeneizzazione) così come un sistema continuo può essere modellato effettuando una discretizzazione fisica in elementi semplici. La soluzione finale del problema deve risultare identica a prescindere dall’approccio utilizzato». Un esempio in tal senso, considerato come la prima applicazione del FEM, è stato offerto nel 1941 da Hrenikoff [3] per quanto riguarda la modellazione di un continuo elastico. Nella visione fisica del problema, si può affermare che un corpo continuo ha un numero infinito di punti di interconnessione, e questo lo rende complesso da trattare; Hrenikoff ipotizzò di ridurre questa difficoltà suddividendo il dominio in un numero discreto di sottodomini, detti elementi, mutuamente collegati da un numero finito di nodi. Questa formulazione rende applicabili a strutture complesse metodi algebrici che sono familiari all’ingegnere, per l’esperienza che egli ha sviluppato nell’analisi dei telai. L’evoluzione del FEM ha riguardato fondamentalmente la geometria della mesh e cioè il “reticolo” con il quale si opera la suddivisione del dominio nei vari elementi. Nella formulazione di Hrenikoff le maglie erano di forma rettangolare, mentre, nella successiva formulazione ad opera di Turner e Clough [4], venne introdotta la possibilità di utilizzare mesh a maglie triangolari oltre che rettangolari. Una formulazione più approfondita e sistematica del metodo degli “elementi finiti” è stata fornita da Zienkiewicz e Cheung a partire dal 1967 [5].

Il metodo delle “strisce finite”
Sebbene l’approccio con il metodo degli “elementi finiti” sia quello più diffuso e implementato nei software commerciali, ci sono altri metodi di notevole importanza come quello delle strisce finite, sviluppato a partire dagli anni ‘60 da Cheung [6], [7]. Con il metodo delle “strisce finite”, la discretizzazione viene fatta, in regime 2D, attraverso la suddivisione in sottodomini detti strisce, mentre, in regime 3D, si ripartisce il corpo in sottodomini tridimensionali detti layer o prismi, a seconda dalla scelta della forma della funzione per l’analisi. A differenza del FEM, che richiede un gran numero di equazioni e di dati in input, il metodo delle strisce finite, richiede meno dati di input, a causa del minor numero di linee di mesh; inoltre, l’output, in termini di spostamenti e forze, è di più semplice definizione, per il minor numero di nodi. Queste caratteristiche concorrono alla definizione di un metodo meno dispendioso in termini di operazioni da eseguire, ma ugualmente accurato nella stima della soluzione. Tra le evoluzioni del metodo delle strisce sono da tenere in considerazione: (a) il “Compound Strip Method” (CSM) [8], [9] proposto nel 1986 da Puckett e Gutkowski, metodo che permette di tenere in conto della presenza di irrigidimenti, quali trasversi longitudinali, nella struttura dell’impalcato; (b) il “Precise Finite Strip Method” [10] con il quale si riescono a stimare in maniera più esaustiva gli effetti generati da forze concentrate o da effetti di bordo.

Il metodo della “Generalized Beam- Theory”
Il metodo della “Generalized Beam Theory” (GBT) fu formulato da Richard Schardt [11], [12] a partire dal 1966, ma rimase pressoché sconosciuto al di fuori della Germania fino a gli inizi degli anni ‘90. Un importante contributo per lo sviluppo e diffusione del metodo è stato offerto da Davies [13], [14] il quale iniziò ad applicare il metodo per lo studio di strutture metalliche laminate a caldo per valutarne gli effetti di buckling. Davies notò che questo metodo poteva essere una valida alternativa rispetto al metodo degli elementi finiti e delle strisce finite. L’idea alla base del metodo consiste nel discretizzare il dominio 3D di una trave in parete sottile, attraverso l’introduzione di modi deformativi sezionali noti, di ampiezza incognita, dipendente dall’ascissa longitudinale. Nell’ambito di applicazione del metodo GBT, dunque, il problema elastico 3D si trasforma in un problema 1D, come nella teoria della trave a sezione compatta (ma libera di ingobbarsi e perdere forma nel proprio piano). Attualmente molti ricercatori si stanno interessando dello sviluppo di questo metodo: ricordiamo, tra gli altri,Rendek [15], Camotim [16], Ranzi & Luongo [17], i quali hanno generalizzato il metodo includendo nuovi aspetti non presenti nella formulazione originaria. La più importante evoluzione è stata la combinazione del metodo GBT con quello degli “elementi finiti”, che ha reso applicabile il metodo a strutture anisotrope, sezioni pluriconnesse aperte, sezioni chiuse o semichiuse, sezioni circolari, condizioni di appoggio non standard, problemi di buckling e di postbuckling e problemi dinamici lineari.

La comune filosofia di FSM e GBT

Il metodo delle “strisce finite” e la teoria della “trave generalizzata” costituiscono due utili strumenti per l’analisi elastica e di instabilità (buckling) delle travi a parete sottile (Thin-Walled Beams, TWBs). Queste si comportano in modo considerevolmente diverso rispetto alle travi compatte, poiché la loro risposta ai carichi è notevolmente influenzata, anche in campo lineare, dalla deformazione della sezione trasversale nel piano e fuori piano (ingobbamento). Pertanto, rispetto alla teoria di De Saint Venant in cui le sezioni sono indeformabili nel piano, nelle TWBs la sezione trasversale perde di planarità e subisce ingobbamento fuori dal piano. Si osservi che la teoria proposta da Vlasov [18] arricchisce la teoria tecnica della trave, in quanto introduce una funzione di ingobbamento (proporzionale all’area settoriale) in grado di caratterizzare la cinematica della TWB in torsione non uniforme. Tuttavia, la trave di Vlasov rimane non distorta nel proprio piano, ed è dunque inadeguata a descrivere il comportamento di travi non irrigidite trasversalmente. Vale la pena rimarcare come, sebbene si utilizzi ancora la definizione di trave, il comportamento delle TWBs è, di fatto, più assimilabile a quello di strutture bidimensionali che a quello tipico delle travi.

Figura n. 1 - Campo di spostamento us,x, vs,x, ws,x di una TWB

Figura n. 1 – Campo di spostamento us,x, vs,x, ws,x di una TWB

Tra gli approcci cha hanno avuto maggiore successo nello studio del comportamento delle TWBs, vi sono proprio il FSM e la GBT. Entrambe le teorie si basano sulla filosofia del metodo di Kantorovich [19], [20] (detto anche semi-variazionale) che mira a ridurre le equazioni differenziali alle derivate parziali in equazioni differenziali ordinarie, attraverso la tecnica della separazione delle variabili. In entrambi i metodi si esprime il campo di spostamenti di figura 1 come una combinazione lineare di funzioni a variabili separabili, ovvero: Sciomenta1 (1) In cui Vk(s) e Wk(s) descrivono la k-esima forma trasversale nel piano della sezione, mentre Uks descrive la k-esima forma fuori piano. Inoltre φk(x) e ψk(x) rappresentano le k-esime forme longitudinali, modulazione lungo l’asse x delle forme Uk(s), Vk(s) e Wk(s). In entrambe le teorie si considera ψk(x) = d/dxφk(x), poiché, con questa scelta, è possibile imporre le condizioni di vincolo interno di Vlasov/Bredt, ovvero che gli scorrimenti a taglio nel piano della sezione, γzs, siano: (a nulli nei profili aperti, dove le tensioni tangenziali dovute torsione lungo la linea media del profilo devono annullarsi; (b) costanti a tratti nei profili chiusi, dove le tensioni tangenziali dovute a torsione alla Bredt variano con lo spessore della sezione trasversale che può non essere costante. In entrambi i metodi, una scrittura in forma debole del problema, sviluppabile attraverso consolidati metodi variazionali, permette di completare gli aspetti relativi alla formulazione con le equazioni del modello. In tale ottica, il Teorema dei Lavori Virtuali (TLV) o la condizione di stazionarietà dell’Energia Potenziale Totale (EPT), che operano nella classe delle configurazioni compatibili, rappresentano gli approcci più comunemente utilizzati. In particolare, il principio di stazionarietà dell’EPT propone di ricercare tra le combinazioni di spostamento compatibili con le condizioni al contorno, quelle che soddisfano l’equilibrio,e che fanno assumere un valore stazionario all’energia potenziale Φ[7]: Sciomenta2 (2) dove q è il vettore dei parametri liberi (o Lagrangiani). I due metodi, si distinguono in base al tipo di approssimazione dei campi (locale vs globale): in particolare:
• il metodo delle “strisce finite” opera un’approssimazione globale in direzione longitudinale, demandando ad una locale la valutazione degli effetti deformativi sulla sezione trasversale;
• la teoria della “trave generalizzata” opera in senso strettamente duale, fornendo cioè un’approssimazione globale in direzione trasversale, ed agli elementi finiti in direzione longitudinale. In entrambi i casi, quando l’approssimazione globale viene realizzata con l’introduzione di un basso numero di forme modali, si perviene ad un numero di gradi di libertà inferiore a quello ottenibile attraverso l’applicazione del metodo degli “elementi finiti”, con un non trascurabile vantaggio in termini di oneri computazionali. Poiché l’approssimazione migliore è quella che si realizza nella direzione in cui si effettua una discretizzazione locale, la scelta del metodo più opportuno va effettuata in base agli effetti deformativi che si vogliono stimare con maggior accuratezza. Pertanto, si userà il FSM quando si vorrà privilegiare l’analisi della sezione trasversale, la GBT l’analisi in direzione longitudinale.

Aspetti specifici dei metodi FSM e GBT

Si forniscono pochi dettagli sui due metodi, rimandando a testi specializzati per una completa descrizione.

FSM
Nel metodo delle “strisce finite” si assume nota la dipendenza da x (approssimazione globale), ovvero si fissano le forme longitudinali φk(x) e ψk(x) come funzioni che soddisfino le condizioni di vincolo (figura n. 2). Condizioni di profilo semplicemente appoggiato e libero di ingobbarsi rendono congruente l’assunzione di funzioni armoniche definite a priori, ad esempio sin(kπx/L), come in figura n. 2-c.

Figura n. 2 Metodo FS: (a) discretizzazione locale della sezione trasversale; (b) generica striscia tra i nodi i e i+1; (c) discretizzazione globale nella direzione longitudinale.

Figura n. 2 Metodo FS:
(a) discretizzazione locale della sezione trasversale;
(b) generica striscia tra i nodi i e i+1;
(c) discretizzazione globale nella direzione longitudinale.

Le forme trasversali Uk(s), Vk(s) e Wk(s) si approssimano agli “elementi finiti” (approssimazione locale, figura n. 2-b). In tal modo il cassone da ponte viene discretizzato in “strisce finite” (figura n. 2-a) che si estendono da un sostegno all’altro e collegate trasversalmente lungo i bordi dalle linee nodali che coincidono con le linee perimetrali delle strisce. In alcuni casi si possono considerare le linee nodali interne arrivando alla definizione di strisce di ordine superiore. L’accuratezza a livello computazionale del metodo cresce all’aumentare del numero di strisce in cui è suddiviso il cassone ed in base al numero di armoniche considerate nelle direzione longitudinale. Il metodo delle “strisce finite” si presta, dunque, ad un’analisi accurata del comportamento della sezione trasversale. Nella direzione longitudinale, invece, se si utilizzano poche armoniche, il metodo conduce ad un’approssimazione con più basso livello di accuratezza. Considerando incognita la dipendenza da s, si introduce una discretizzazione locale agli EF in quella direzione. I gradi di libertà d’elemento sono otto e dunque il vettore degli spostamenti si definisce: q = {ui, vi, wi, θi,ui+1, vi+1, wi+1, θi+1}. Le forme trasversali Uk(s), Vk(s) e Wk(s) sono espresse rispettivamente come prodotto tra il vettore degli spostamenti q e le funzioni di interpolazione ψu(s), ψv(s), ψw(s) note, aventi un andamento lineare o cubico. Si ricostruisce il campo degli spostamenti per l’elemento come indicato nella (1) e si procede definendo le deformazioni d’elemento che tengono conto dell’elongazione, dello scorrimento nel piano della piastra e delle curvature flessionali e torsionale. Si scrive l’EPT dell’intera struttura e da questa, imponendo la stazionarietà si ricava la formulazione complessiva espressa come: K q = p. Metodo GBT L’idea alla base della teoria GBT consiste nel descrivere il campo di spostamenti di una TWB come una combinazione lineare di modi deformativi della sezione trasversale noti e di ampiezze (modali) incognite che dipendono dalla coordinata assiale x (figura n. 3). La sostanziale differenza del metodo GBT rispetto a quello delle “strisce finite” risiede nelle funzioni a cui attribuiamo il valore noto e quello incognito. L’uso della teoria GBT si articola in due fasi fondamentali:
•la selezione dei modi di deformazione per la sezione trasversale (normalmente denominata in letteratura cross-section analysis);
•la soluzione del problema 1D (denominata in letteratura member analysis). Mentre la seconda analisi, eccetto per condizioni al contorno molto semplici della trave, viene di solito effettuata per mezzo dell’approccio ad “elementi finiti”, la prima ha ricevuto grande attenzione della ricerca nel corso degli anni. La scelta delle forme trasversali Uk(s), Vk(s) e Wk(s), (si vedano figura 3-a e figura n. 3- b) di solito operata sulla base di un’analisi statica, può essere determinata anche attraverso un approccio dinamico [21], noto come metodo GBT-D, in cui la sezione viene assimilata ad un telaio e di questi si calcolano i modi deformativi della dinamica, quali soluzioni di un problema agli autovalori del tipo: (K-λ M)q=0 (3) dove K è la matrice di rigidezza, M è la matrice di massa, q è il vettore degli spostamenti nodali del telaio. Si ottiene così un’approssimazione discreta, ma relativa ad un’unica direttrice. Si procede impostando la formulazione debole dell’equilibrio, che conduce ad un sistema di equazioni differenziali nella funzione dell’ampiezza incognita: Cφ,xxxx + Dφ,xx + Bφ = p (4) dove φ è il vettore contenente le ampiezze delle forme trasversali, C, D e B sono matrici di rigidezza simmetriche esprimibili attraverso i modi deformativi. La ”member analysis” consiste nel definire la soluzione del problema 1D fornito dal sistema delle equazioni (4), ovvero di risolvere un set di equazioni differenziali corredate da opportune condizioni al contorno. Se si considerano, ad esempio, condizioni di semplice appoggio degli estremi, una rappresentazione in serie di armoniche seno della soluzione lungo la direzione x, soddisfa le equazioni (4). In generale, si adotterà invece una discretizzazione agli “elementi finiti” nella direzione longitudinale (si veda figura n. 3-b).

Conclusioni

Nella presente memoria si sono discussi i metodi di discretizzazione per l’analisi strutturale dei ponti a cassone. Sebbene il metodo degli “elementi finiti” sia quello più sviluppato e impiegato dai progettisti, non è immediato affermarne la convenienza di utilizzo nell’ambito di strutture complesse come i ponti a cassone; in tale ottica, è lecito, e spesse volte meno oneroso, utilizzare metodi di discretizzazione non altrettanto noti ma sostanzialmente validi, come il metodo delle “strisce finite” o la teoria della “trave generalizzata”. Questi metodi sono da considerarsi un campo aperto di ricerca; essendo alquanto recenti e innovativi, si prestano a continui miglioramenti e semplificazioni che li rendono sempre più fruibili dai progettisti ed applicabili alla moltitudine eterogenea di casi di studio reali. Per tali metodi si sono individuati e discussi gli aspetti comuni ed, in particolare, ne è stata sottolineata la radice filosofica comune, basata sulla tecnica della separazione delle variabili. Ciascun approccio è stato analizzato separatamente attraverso una trattazione critica, definendone gli aspetti più specifici e caratterizzanti, per evidenziare i diversi campi di applicabilità. Si può affermare che non esiste un metodo “privilegiato” per lo studio dei ponti a cassone, ma è necessario contestualizzare, in maniera critica, per ciascun caso reale, la scelta del metodo in funzione degli effetti che maggiormente si vogliono mettere in evidenza. Volendo semplificare, si può affermare che il FSM dà maggiore enfasi al comportamento della sezione trasversale, mentre la GBT privilegia gli effetti che si sviluppano lungo la direzione longitudinale dell’impalcato.

BIBLIOGRAFIA

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The paper deals with a critical and conceptual review of the computational methods targeted to design box girder bridges, which are often used without full awareness by the designers. We will illustrate the principles of the various discretization methods which can be used in designing these bridges. We will highlight their common philosophy of solution, and distinguish them on the basis of the aspects of the mechanical behavior they better permit to be investigated.

MARTINA SCIOMENTA
FRANCESCO D’ANNIBALE
ANGELO LUONGO

Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile Architettura e Ambientale Università degli Studi dell’Aquila diretto dal prof. ing. Angelo LUONGO, ordinario di Scienza delle Costruzioni
martina.sciomenta@univaq.it
francesco.dannibale@univaq.it
angelo.luongo@univaq.it
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